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\begin{titlepage}
	\title{\Huge\textbf{计算方法作业一}\\}
	\author{\Large\textbf{作者}：吴润泽 \and{\Large\textbf{学号}：181860109}\\
		\\
		\and {\Large\textbf{Email}：\href{mailto:181860109@smail.nju.edu.cn}{181860109@smail.nju.edu.cn}}\\}
	\date{\Large\today}
\end{titlepage}
\begin{document}
	\maketitle
	%\tableofcontents
	\section*{11.}
	\paragraph{解：}
	设$\bar{y}_n$为$y_n$的近似值，$\varepsilon^*(y_n)=\bar{y}_n-y_n$，递推关系式有:
	$$\begin{aligned}
	y_n&=10y_{n-1}-1=10(10y_{n-2}-1)-1\\
	&=10^2y_{n-2}-(1+10^1)\\
	&=10^2(10y_{n-3}-1)-(1+10^1)\\
	&=10^3y_{n-3}-(1+10^1+10^2)\\
	&=\cdots\\
	&=10^ny_0-\sum_{i=0}^{n-1}10^i\\
	&=10^ny_0-\frac{1}{9}(10^n-1)\\
	\end{aligned}
	$$
		又有$y_0=\sqrt{2},\bar{y}_0=1.41\Rightarrow\varepsilon^*(y_0)=\frac{1}{2}\times10^{-2}$，即：
	$$\begin{aligned}
	&y_{10}=10^{10}\cdot\sqrt{2}-\frac{1}{9}(10^{10}-1),\bar{y_{10}}=10^{10}\cdot1.41-\frac{1}{9}(10^{10}-1),\\
	&\varepsilon^*(y_{10})=10^{10}\varepsilon^*(y_0)=10^{10}\times \frac{1}{2}\times10^{-2}=\frac{1}{2}\times10^8.\\
	\end{aligned}
	$$
	因为$y_{10}$的误差限是$y_0$误差限的$10^{10}$倍，因此计算过程不稳定。
	\section*{13.}
	\paragraph{解：}
	首先对于开方运算：
	\begin{align}
		u=\sqrt{30^2-1}=\sqrt{899}\approx29.9833\ , \varepsilon^*(u)=\frac{1}{2}\times10^{-4}
	\end{align}
	对于对数函数1：$f_1(x)=\ln({x-\sqrt{x^2-1}}),f_1(u)=\ln(30-u):$
	\begin{align}
		\varepsilon^{*}(f_1(u))&=|f_1^{'}(u^{*})|\varepsilon^*(u)
		\approx|\frac{1}{30-u^{*}}|\times\frac{1}{2}\times10^{-4}\notag\\
		&=|\frac{1}{30-29.9833}|\times\frac{1}{2}\times10^{-4}\notag\\
		&\approx 3\times 10^{-3}
	\end{align}
	对于对数函数2：$f_2(x)=\ln({x+\sqrt{x^2-1}}),f_2(u)=-\ln(30+u):$
	\begin{align}
		\varepsilon^{*}(f_2(u))&=|f_2^{'}(u^{*})|\varepsilon^*(u)
		\approx|\frac{1}{30+u^{*}}|\times\frac{1}{2}\times10^{-4}\notag\\
		&=|\frac{1}{30+29.9833}|\times\frac{1}{2}\times10^{-4}\notag\\
		&\approx 8\times 10^{-7}
	\end{align}
	因此用等价公式$\ln({x+\sqrt{x^2-1}})$计算误差较小。
\end{document}